10回で覚える数学講座「数Ⅰを得意にする方法」

皆様、こんにちは、好きな数字は36、インターン生の石井です。
36といえば、6番目の高度合成数らしいですね。高度合成数って何、と言われれば、それまでの自然数の中で最も約数の多い数という意味です。つまりは、とても約数が多いということです。

では、今回も10回で覚える数学講座始めましょう。第3回は「数Ⅰを得意にする方法」です。内容は「三角比」と「二次関数」についてやっていきます。

【1】三角比
三角比のポイントは、「円」です。三角なのに円がポイントと言われたらちょっと首をかしげるかもしれません。
というわけで、まずは、三角比で使うsin、cos、tanについておさらいしましょう。下の図を見て下さい。

これがsin、cos、tanの定義です。皆様も見たことはあると思います。
さて、ここで出てくるのが「円」です。この三角形を円に当てはめてみましょう。

こんな感じですね。改めて、説明しますと、xは「x座標」、yは「y座標」、rは「半径」です。
では、もしこの円が半径r=1の単位円だったとしましょう。するとさっきの定義はこうなります。

sinθ=y
cosθ=x
tanθ=y/x

これで気付きますか? そう、sinは単位円のx座標、cosは単位円のy座標になりました。じゃあ、tanはというと、「yの増加量/xの増加量(xの増加量分のyの増加量)」って聞いたことありません? tanは「変化の割合」さらに言えば「傾き」となるわけです。

三角比では、θは0度から180度なので、円の上側、つまりsinはずっと正の数です。それだけ分かれば三角比は大丈夫です。というわけで、残念ながら三角比の例題は無しです。どうしてもという方は10回で覚える数学講座 第5回「三角関数を得意にする方法」へどうぞ。発展ですが、この考え方さえ分かれば余裕なはず。

【2】二次関数
やってきました、二次関数。ここでのポイントは「頂点の位置」です。頂点の座標はどこか、頂点と定義域の位置関係はどうなっているのかが大切です。特に位置関係を考える場合はイメージが難しいので、最初は図を描きましょう。段々と慣れていくと思います。
それでは、例題に移ります。例題は二次関数の最大最小です。

例題「y=x^2-4ax+1(-2≦x≦2)の最大値・最小値を求めよ」

問題文は短いですが、答えがとても長いです。なので、答えを覚えるのではなく、答えの出し方を覚えてください。前回も出てきましたが「x^2」は「xの2乗」を表します。
解き方ですが、まずは頂点の座標を知らなければどうにもなりません。
というわけで、平方完成をします。

「y =x^2-4ax+1
=(x-2a)^2-4a^2+1

頂点(2a,-4a^2+1)」

ですよね? しっかり平方完成できましたか?
次に、頂点のx座標の「2a」と定義域を比べていきます。
この放物線は下に凸なので、より頂点に近いほうが最小値となり、遠いほうが最大値になります。そんなことない、という人は下に凸のグラフといっぱい書いてみましょう。
そして、比べていくんですが、「a」という定数が入っているため、どこにあるかひとつには決まりません。というわけで、場合分けです。
場合分けと聞いて、嫌な顔をする人もいるでしょう。そういう人はまず自分に「そのくらい簡単に出来る!」と言い聞かせてください。なんとかなります。

場合分けの基準は「最小値もしくは、最大値が変化するとき」です。

この場合、最小値・最大値を求めるので、5通りに分かれます。片方だけを求める場合には3通りになりますので、問題をよく読んでくださいね。変化の範囲は次の通りです。

最小値の範囲は「定義域の左側」「定義域の中」「定義域の右側」の3つ。
最大値の範囲は「定義域の真ん中より左側」「定義域のちょうど真ん中」「定義域の真ん中より右側」の3つ。
これらの範囲を統合すると、「定義域の左側」「定義域の中で、真ん中より左側」「定義域のちょうど真ん中」「定義域の中で、真ん中より右側」「定義域の右側」の5つになります。

あとは一気に答えを書きます。文字ばっかで分かりにくいと思うので、下の図と対応させながら見るとわかりやすいと思います。
(Ⅰ)2a<-2よりa<-1の場合 x=-2のとき最小値8a+5 x=2のとき最大値-8a+5

(Ⅱ)-2≦2a<0より-1≦a≦0の場合 x=aのとき最小値-4a^2+1 x=2のとき最大値-8a+5

(Ⅲ)2a=0よりa=0の場合 x=a=0のとき最小値1 x=-2,2のとき最大値5

(Ⅳ)0<2a≦2より0<a≦1の場合 x=aのとき最小値-4a^2+1 x=-2のとき最大値8a+5

(Ⅴ)2≦2aより1≦-1の場合 x=2のとき最小値8a+5 x=-2のとき最大値8a+5

というわけで、今回はおしまいです。
次回は数Aについてやっていきます。

興味を持たれた方はこちらまでお気軽にお問い合わせください。

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