10回で覚える数学講座「数Aを得意にする方法」

皆様、こんにちは、好きな平面図形は六角形、インターン生の石井です。
平面図形は点対称よりも線対称の方がなんかキレイな気がしません?

では、今回も10回で覚える数学講座始まります。第4回は「数Aを得意にする方法」です。内容は「条件付き確率」と「ユークリッドの互除法」です。

【1】条件付き確率
条件付き確率のポイントは、またしても「問題文をよく読む」ことです。よく読み、事象Aはどれで、事象Bがどれなのかを決めることが重要になります。

例題に行く前に、定義の確認だけしておきます。
事象Aが起きたとき、事象Bが起こる条件付き確率は

P(B|A)=P(A∩B)/P(A)

となります。式の意味としては、事象Aが起きる確率のうち、事象Aと事象Bが同時に起こる確率を求めています。
式は簡単ですが、問題文を読むとどっちが事象Aだか、事象Bだか、そもそも事象Aが起きたときに事象Bが起きる確率なのに、なんでP(B|A)ってBが先に来てるの、だとかありますが、とにかく覚えておいてほしいのは、事象Aというのは範囲であり、その中で起こる事象Bの確率を求めたいわけなんです。つまりP(範囲の事象|求めたい事象)って感じですかね。

少し整理できてきましたか? それでは、例題です。

例題「ジョーカーを除いたトランプ52枚から1枚引くとき、マークがダイヤであったとき、絵札である確率を求めよ」

さて、まず事象Aと事象Bを決めましょう。どっちでもいいんですが、ここでは、事象Aを範囲の事象、事象Bを求めたい事象としましょう。すると

事象A:マークがダイヤである
事象B:絵札である

となります。
では、それぞれの確率を求めていきましょう。
P(A)=13/52=1/4(ダイヤのカードは13枚)
P(A∩B)=3/52(ダイヤの絵札は3枚)
というわけで答えはP(B|A)=3/13となります。

ポイントは事象A(範囲の事象)と事象B(求めたい事象)を問題文から読み取って決めることです。

【2】ユークリッドの互除法
ユークリッドの互除法のポイントは、「あまりのある式の書き換え」です。
どういうことかといえば、小学校の頃、あまりのある割り算のときは式の後ろに「あまり2」とか「…2」とか書いたと思いますが、数学では使わなかったと思います。ではどうやって表すかというと

a÷b=qあまりr → a=b×q+r

と、変換することができました。うまくイメージできない人はaとbに数字を当てはめて計算してみましょう。

さて、では例題に行きます。例題は一次不定方程式への応用です。

例題「43x+30y=1の解を1つ求めよ」

まずはユークリッドの互除法をしていきましょう。

43÷30=1あまり13
30÷13=2あまり4
13÷4=3あまり1

これを変形していきます

「あまり」を使わない形に変形
43=30×1+13
30=13×2+4
13=4×3+1

「あまり」が右辺に来るように変形
13=43-30×1……①
4=30-13×2……②
1=13-4×3……③

①の4に②を代入
1=13-(30-13×2)×3
=13×1-30×3+13×6
=13×7+30×(-3)……④

④の13に①を代入
1=(43-30×1)×7+30×(-3)
=43×7-30×7+30×(-3)
=43×7+30×(-10)……⑤

⑤と問題の式を比較すると、(x,y)=(7,-10)というのが答えですね。
ここからさらに発展した問題もあるんですが、そこはこれがわかればなんとかなると思うので、今回はここまでです。

次回は数Ⅱの三角関数について扱います。

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