10回で覚える数学講座「三角関数を得意にする方法」

皆様、こんにちは、好きな立体図形は正二十面体、インターン生の石井です。
正二十面体とか、見てるとキレイな形ですけど、見取り図をかけと言われてもかける気はしません。

では、今回も10回で覚える数学講座始まります。第5回は「三角関数を得意にする方法」です。
三角関数では公式が多めで、ポイントというほどのポイントは多くありません。しいて言えば覚える公式を整理しておくことでしょうか。

というわけで、最低限三角関数で覚えておかなければいけない公式を整理しておきます。具体的な式は書きませんので、自分でノート1,2ページでまとめて書いてみるとよいのではないでしょうか。

1.0~2πまでの有名角の三角関数の値
これがもっとも基礎の暗記事項。そんなに覚えられないという方もいると思うので、後程、覚え方を紹介します。
2.三角関数の相互関係
3つあるやつです。sinの2乗とcosの2乗を足すと1になるなど。3つすべて言える人はどのくらいいるのでしょうか。
3.三角関数の性質
これはsin(θ+π)やcos(-θ)の式です。覚える際は自分で三角形を書きながら覚えると覚えやすいと思います。
4.正弦定理、余弦定理
数Ⅰの三角比で扱った公式です。あんまり使うことはないですが、念のため。
5.加法定理
よく使う公式の代表といってもいいかもしれません。語呂合わせで教わった人も多いかと。
6.倍角の公式、半角の公式
2倍角の公式は当然として、出来れば3倍公式も。半角の公式は2倍角の公式から求められるようになっておくとど忘れした時も安心です。
7.三角関数の合成
sinとcosの混ざった式からsinだけの式に変形する公式。主に最大最小問題によく使われます。
おまけ.和積の変換公式
三角関数において一番覚えにくい公式といっても過言ではないこの公式。加法定理から導けるようになっておくといいでしょう。(動画では6個、12個といったのですが、足し算から掛け算で4個、その逆で4個の計8個でした。訂正します)

以上7+1種類の公式があります。
これらを覚えるコツは公式を暗記するのではなく、公式の作り方を覚えることです。無理やり公式すべて暗記しても問題はないですが、脳の許容量からあふれ出る可能性が高いです。なので、できる限り公式のでき方を覚えることが大切です。

では、覚え方のコツを紹介します。覚え方のコツは、「5つの数字」です。
5つの数字というのは

sin,cos「0,1/2,√2/2,√3/2,1」
tan「0,1/√3,1,√3,値なし(×)」

のそれぞれ5つです。三角関数の値にはこれら5つずつしか登場しません。さらに言えば、有名角にも「nπ,nπ/6,nπ/4,nπ/3,nπ/2」の5種類しかありません。つまり、この5つの角度と5つの三角関数の値は対応しているわけです。

例えば、sin(π/6)とsin(5π/6)は両方とも、1/2です。では、sin(7π/6)とsin(11π/6)はといえば-1/2なわけです。つまり、マイナスがつくか、つかないかだけで、値は変わっていません。そして、マイナスがつくかどうかは、象限によって違いますよね? sinは第1,2象限、cosは第1,4象限、tanは第1,3象限がプラスで他がマイナスです。なぜそうなるかは、10回で覚える数学講座、第3回の三角比をご覧ください。

では例題に行きます。例題といっても今日は簡単な問題です。

例題「(1)sin(25π/6)の値を求めよ
(2)cos(17π/12)をπ/4以下の角度を用いて表せ
(3)tan(π/12)の値を求めよ」

(1)まず、角度がnπ/6なので、値は1/2か-1/2になることがわかります。
そして、25π/6は2πよりも大きいので、0から2πの間の角になるように調整します。

sin(25π/6)=sin(π/6+2*2π)=sin(π/6)

あとは、答えを出すだけですね。(A.sin(25π/6)=1/2)

(2)これは慣れるまでちょっと難しいですが、ポイントは2π以上か、2πより小さくπ以上か、πより小さく、π/2以上かです。これは2π以上であれば、三角関数の性質の(θ+2nπ)の性質を使い、2πより小さくπ以上であれば(θ+π)の性質、πより小さく、π/2以上であれば(θ+π/2)の性質を使えばいいわけです。π/2未満、π/4以上の際は、(θ+π/2)の性質を使ってから(-θ)の性質を使ってください。
やってみます。

cos(17π/12)=cos(5π/12+π)=-cos(5π/12)  ←2πより小さくπ以上なので(θ+π)の性質
-cos(5π/12)=-cos(-π/12+π/2)=sin(-π/12)=-sin(π/12)  ←π/2より小さく、π/4以上なので(θ+π/2)の性質を使ってから(-θ)の性質

というわけで、答えとなります。(A.-sin(π/12))

(3)これは単純に加法定理の問題です。
π/12=π/3-π/4なので
tan(π/12)=tan(π/3-π/4)=(√3-1)/(1+√3)
です。簡単でしたね。

こんなところで、今回も終わりにしておきます。いよいよ残り半分。次回は、「いろいろな式」についてです。

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