10回で覚える数学講座「いろいろな式を得意にする方法」

皆様、こんにちは、好きな数列はフィボナッチ数列、インターン生の石井です。
数列は本講義では扱いませんが、興味があったら調べてみてください。

では、本日も10回で覚える数学講座始めていきます。本日は第6回「いろいろな式を得意にする方法」です。
単元名なので「いろいろな式」と言ってますが、やる内容としては整式の除法と因数分解です。因数分解は第2回でも取り扱いましたが、こちらでは、高校で習うレベルの因数分解です。

【1】整式の除法
整式の除法のポイントは、「組み立て除法」です。普通、整式の除法をやるときは筆算などを使って答えを出すんですが、割る整式が一次関数であれば、組み立て除法でやるととても簡単に商とあまりを求めることができるんです。高校の授業で扱うかどうかは先生次第なので、知らない人がいたら今からやってみましょう。

例題「f(x)=x^3+5x^2-2x+4をx+3で割った商とあまりを求めよ」

さて、この例題を解くわけですが、普通に筆算で答えを求めるとこうなります。

結構長いですよね。
というわけで、組み立て除法のやり方を説明します。

(1)割られる整式の係数を書き出します。

(2)その横に割る整式の定数部分の符号を逆にした数字を書きます。

(3)係数の一番左をそのまま降ろします。

(4)(3)の数字に(2)の数字をかけたものを(3)の右上に書きます。

(5)(4)の数字とその上にある数字を足します。

(6)繰り返します。

そうすると図のように答えが出てきます。(A.商x^2+2x-8 あまり28)

【2】因数分解
ここでのポイントは「降べきの順」です。因数分解する式が長くなった時や、今までの公式で使えなくなったときは、「降べきの順」にすることが大切です。

例題「x^2+5xy+6y^2+4x+9y+3を因数分解せよ」

この問題ですが、なんか、式の前半が因数分解できるからしちゃえー、ってやるとそのあとが一切できなくなります。こんな時に必要なのが、降べきの順です。因数分解で降べきの順を使うときは、基本次数の小さい文字に注目して降べきの順にするわけですが、今回はxもyもどちらも2次なので、好きなほうに注目して並び替えてください。今回はxに注目して並び替えます。

x^2+5xy+6y^2+4x+9y+3=x^2+(5y+4)x+6y^2+9y+3

並び替えられましたか?
さて、その次は、今度こそ、式の後ろが公式を用いて因数分解できるので、因数分解してください。たすき掛けを使います。

x^2+(5y+4)x+6y^2+9y+3=x^2+(5y+4)x+(3y+3)(2y+1)

ここまで来たらあとちょっとです。もう一回公式を使って因数分解するわけですが、使う公式は「x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)」という公式です。この公式では、xの係数が足し算で、定数部分が掛け算になっていることに注目してください。では、現在の式を見てください。後ろ(xを含まない部分)が掛け算になっていませんか?
というわけで、後ろにできた掛け算の式を足してみて、真ん中(xが1次の部分)になればいいわけです。

(3y+3)+(2y+1)=5y+4

ほら、なりましたよね。というわけで、公式でいうa=3y+3、b=2y+1とすると

x^2+(5y+4)x+(3y+3)(2y+1)=(x+(3y+3))(x+(2y+1))=(x+3y+3)(x+2y+1)

となります。できましたか?

さて、今回の10回で覚える数学講座は以上です。次回は、「図形と方程式」についてやっていきます。

興味を持たれた方はこちらまでお気軽にお問い合わせください。※数学についての質問は受け付けていません。

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