10回で覚える数学講座「図形と方程式を得意にする方法」

皆様、こんにちは、好きな無理数は√2、インターン生の石井です。

では、今回も10回で覚える数学講座始めます。第7回は「図形と方程式を得意にする方法」です。
今回も公式がいっぱい出てくる回です。できるだけ覚えやすいように整理していきたいと思います。

【1】内分点・外分点
まずは、基礎中の基礎、内分・外分からやっていきます。といっても内分は皆様大丈夫だと思います。というわけで外分のポイントですが、「小さいほうをマイナスにする」です。まずは軽く例題。

例題「2点A(1,4),B(4,7)について、次を求めよ。
(1)線分ABを1:2に内分する点P
(2)線分ABを1:2に外分する点Q」

さて、比較をするためにほぼ同じ問題にしてみました。というわけで解いてみましょう。内分の公式は覚えていますか?

P((2*1+1*4)/(1+2),(2*4+1*7)/(1+2))=P(2,5)

となりますよね。次に、外分を求めるわけなんですが、外分の公式は覚える必要はありません。
1:2という比率で、1と2を比べると1の方が小さいです。というわけで、この1をマイナスにして「-1」にします。そして、内分の公式を使いましょう。

Q((2*1+(-1)*4)/((-1)+2),(2*4+(-1)*7)/((-1)+2)=Q(-2,1)

となります。どうでしょう? 内分も外分も同じですよね。そう考えると簡単に思えませんか?

【2】軌跡
では、次に軌跡についてやっていきます。軌跡のポイントは「わからない点は勝手に置く」ことです。
軌跡では動く点がいくつか出てきます。この動く点については勝手に座標を置いてしまおう、ということです。

例題「円(x-3)^2+y^2=9上の点O(0,0)A(6,0)があり、点Qが円上を動くとき、三角形OAQの重心Pの軌跡を求めよ」

というわけで、まずは求める軌跡の点PをP(x,y)と置きましょう。これが一番重要なポイントです。
そして次にもう一個動く点Qがあるので、これは媒介変数(答えを出すための変数)s,tを使ってQ(s,t)と置きます。

では、一個ずつ条件を見ていきましょう。
Pは三角形OAQの重心なので、

x=(0+6+s)/3=(6+s)/3……①
y=(0+0+t)/3=t/3……②

になります。
次に、点Qの条件を考えます。Qは円上を動くので、s,tをもとの式に代入します。

(s-3)^2+t^2=9……③

になりますよね。で、このs,tをx,yで表せればよいので、s,tをx,yで表しましょう。そのために①と②を変形します。

①を変形 s=3x-6
②を変形 t=3y

あとは、③に代入するだけです。追加で、この場合、一直線だと重心はないので、(2,0)(4,0)は除きます。(A.半径1、中心(3,0)の円、ただし(2,0)(4,0)は除く)

という感じで、今回も終わりにします。次回も10回で覚える数学講座、よろしくお願いします。
次回は、第8回「指数関数を得意にする方法」です。残り3回頑張りましょう。

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