10回で覚える数学講座「指数関数を得意にする方法」

皆様、こんにちは、好きな素数は双子素数、インターン生の石井です。
そろそろ数学好きなものシリーズがなくなってきました。頑張って探しておきます。双子素数は「p,p+2」が両方とも素数であることです。例えば、(11,13)など。

では、今回も10回で覚える数学講座始めていきましょう。残る単元も三つとなりました。第8回は「指数関数を得意にする方法」です。指数関数自体は苦手な人はあまりいないような気がしますが、ここがあいまいだと次回の対数関数で詰まってしまうのでしっかりやっていきましょう。

指数関数のポイントは「底をそろえる」ことです。

ということで、例題に入る前に言葉と指数法則の確認をします。

【言葉】
指数:数字の右上について累乗を表す数字。この講座では「^n」を使って表している。
底:指数の左下にある数字。具体的には「a^n」の「a」の部分。指数でこの言葉を使うことはあまりないが、対数を扱うときにはよく聞く。

【指数法則】
①a^m×a^n=a^(m+n)
②(a^m)^n=a^mn
③a^-n=1/a^n
④a^(1/n)=n√a(n乗根a)
⑤a^0=1

ですね。特に間違えやすい・忘れやすいのは指数法則の①と②です。実際に計算をすればわかるとは思いますが、実際の数字が出てこないで、文字で置かれてることも多いので、しっかり刻み込んでおいてください。
あと、指数の底が違う場合は計算ができないので、それも注意してください。

では例題に行きましょう。まずは簡単に指数法則の問題です。

例題「(1)2^3÷4^2×8^3を計算せよ。
(2)3√16(3乗根16)を2^nの形にせよ」

(1)底が違うと計算ができないのでまずは底をそろえましょう。どれに合わせてもいいですが、できるだけ小さいほうが望ましいので、2に合わせましょう。指数法則の②を使います。

2^3÷4^2×8^3=2^3÷2^4×2^9

次に、指数法則の①を使い、計算します。

2^3÷2^4×2^9=2^(3-4+9)=2^8

となります。

(2)これも2^nにすることが目的なので、まずは乗根の中身を変えていきます。

3√16(3乗根16)=3√2^4(3乗根2の4乗)

となります。次に3乗根を指数法則④に従って、変形させると

3√2^4(3乗根2の4乗)=2^4/3

となります。

次に、指数方程式です。

例題「方程式4^(x+2)-2^(x+1)-3=0を解け」

とりあえず、底がそろっていないと計算ができないので、4か2に合わせましょう。できるだけ小さいほうが都合がよいので、今回は2に合わせます。この時に指数法則の②を使います。

4^(x+2)-2^(x+1)-3=0→2^2(x+2)-2^(x+1)-3=0

次に、2^xをXで置き換えます。この時には指数法則の①を使います。

2^2(x+2)-2^(x+1)-3=0→16×2^2x-2×2^x-3=0→16X^2-2X-3=0

これなら因数分解できそうですね。というわけで因数分解します。

16X^2-2X-3=0→(2X-1)(8X+3)=0→X=1/2,-3/8

となります。ここで、2^x>0なので、X>0となり、X=1/2になります。ここで、マイナスの値をはじくことを忘れないようにしてください。あとはXを2^xに戻すと

2^x=1/2=2^-1
x=-1

が答えですね。

というわけで、底をそろえることがポイントでした。今回の指数関数はこのあたりで終わります。
次回も10回で覚える数学講座よろしくお願いします。第9回は「対数関数を得意にする方法」です。

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