10回で覚える数学講座「対数関数を得意にする方法」

皆様、こんにちは、好きな関数は二次関数、インターン生の石井です。
二次関数に限った話ではないのですが、関数の問題は解けるとすっきりするので結構好きです。解けないときはモヤモヤするんですけどね。

では、今回も10回で覚える数学講座始めていきましょう。第9回は「対数関数を得意にする方法」です。指数のおさらいは大丈夫でしょうか。
まずは、その指数関数と対数関数の関係についてですが、数Ⅲで習う逆関数というものになっています。詳しい定義は話しませんが、要は関係しあっている関数であるとわかっていただければいいです。つまりこの二つの関数はいたるところで似ているのです。
例えば、指数法則にあったa^m×a^n=a^(m+n)というのは対数の性質ではlog a (MN)=log a (M)+log a (N)となります。しっかり証明すればこの二つの関数がかかわっていることがわかるのですが、ここでは割愛します。

というわけで、対数の性質を復習しておきましょう。先ほども使いましたが、log a (b)は「a」が底で、「b」が真数です。読み方は「ログaのb」です。念のため。

①log a (MN)=log a (M)+log a (N)
②log a (M/N)=log a (M)-log a (N)
③log a (M^k)=k×log a (M)
④log a (b)=log c (b)/log c (a)……底の変換公式

この4つが基本ですね。たまに①と②を間違って覚えて、log a (M)×log a (N)=log a (M)+log a (N)とかlog a (M+N)=log a (M)×log a (N)とかにしている人を見ます。間違えないようにしっかり覚えておきましょう。
あと+αでこの式も覚えておくと便利です。

⑤log a (b)×log b (c)=log a (c)

これは底の変換公式を使うことで簡単に証明できるので、やってみて覚えてください。

では例題に移っていきましょう。まずは計算問題です。

例題「次の計算をせよ
①2log 2 (10)+log 2 (6)-log 2 (75)
②log 4 (8)
③log 2 (25)×log 5 (27)×log 3 (2)

①これは単純に性質の①~③を使うと簡単にできます。logの前にある数字を③の性質を使って書き換え、①、②の性質を使って計算しましょう。

2log 2 (10)+log 2 (6)-log 2 (75)=log 2 (10^2)+log 2 (6)-log 2 (75)=log 2 (100×6÷75)=log 2 (8)=3

というわけで答えは3です。

②これは、底の変換を使う問題です。早速やってみましょう。底は両方とも2の乗数なので2にします。

log 4 (8)=log 2 (8)/log 2 (4)=3/2

となります。
こんなのは余裕だという人は変換公式を使わず、暗算でやってみましょう。この式では「8は4の何乗でしょう」と聞かれています。さらに言い換えると「2^3は2^2の何乗でしょう」と聞かれています。指数に注目してみれば3/2になるのはわかりますよね?

③この問題は⑤の式を使うと簡単です。まずは式を整理してn乗をlogの前に出しましょう。

log 2 (25)×log 5 (27)×log 3 (2)=log 2 (5^2)×log 5 (3^3)×log 3 (2)=2log 2 (5)×3log 5 (3)×log 3 (2)=6×log 2 (5)×log 5 (3)×log 3 (2)

整数部分をとりあえず計算しておきました。あとは後ろの対数を⑤の式を使って書き換えるだけ。

6×log 2 (5)×log 5 (3)×log 3 (2)=6×log 2 (3)×log 3 (2)=6×log 2 (2)=6

となるので、答えは6です。勿論、底の変換公式を使って解くこともできます。

次は、よく出てくるけど忘れやすい問題です。

例題「9^log 3 (5)の値を求めよ」

この問題はではログが指数にあるので一瞬わからなくなるのですが、焦らずに考えていきましょう。まずはこの求めたい値をxと置きましょう。

9^log 3 (5)=x

次に、左辺に9があるので、底が3の対数をとり、性質③を使って書き換えます。

log 3 (9^log 3 (5))=x
log 3 (5)×log 3 (9)=log 3 (x)
log 3 (5)×2=log 3 (x)
log 3 (25)=log 3 (x)

すると一気に答えまで行きます。左辺と右辺を比べてみれば、x=25になりますよね。

このような感じで対数も性質を覚えていれば結構簡単に解けちゃいます。まずは苦手意識をなくすところから頑張りましょう。

さて、今回もこれで終わりです。残すところあと最終回の「微分・積分を得意にする方法」だけです。
次回もよろしくお願いします。

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