10回で覚える数学講座「微分・積分を得意にする方法」

皆様、こんにちは、好きな教科は数学、インターン生の石井です。
何が好きかと言われたら問題が解けた時ですね。特に難しい問題が解けたときが一番楽しいです。皆様もぜひそんな瞬間を体験して欲しいです。

というわけで、今回も10回で覚える数学講座始めていきます。最終回の今日は「微分・積分を得意にする方法」と「ちょっとしたオマケ」です。

【1】微分
微分のポイントは、「傾き」です。「傾き」という言葉が初めて出てきたのは中学の一次関数ですよね。つまり直線なんですが、今回の微分はつまり、その直線の傾きのことなんです。というわけで、例題に行ってみましょう。

例題「関数f(x)=x^3-3xのグラフ上の点(2,2)における接線の方程式を求めよ」

例題は接線の方程式です。微分でなんで接線がわかるのかといえば、微分はさっきも言ったように関数のある一点の傾きを求めることができるのです。傾きと一点がわかっていればあとは中学生でも解ける問題です。というわけで、まずはf(x)を微分してみましょう。

f(x)=x^3-3x
f'(x)=3x^2-3

ですね。そしたら今回の問題では、x=2の時の傾きを求めればいいので、xに2を代入します。

f'(x)=3x^2-3
f'(2)=3×2^2-3=9

となり、傾きはxが2の時、傾きは9であることがわかります。
では、傾きが9で点(2,2)を通る直線の式を求めましょう。これなら中学校でもやった一次関数を求める問題ですよね。

y=ax+b
y=9x+b
2=9×2+b
b=-16

ということで、今回の答えはy=9x-16でした。できましたか?

【2】積分
次に積分なんですが、積分のポイントは「面積」ですね。積分で面積を求める問題があったと思いますが、それが積分の意味なんです。
なんか難しい計算してるけど、結局この答えってなんなのっていうと面積を基本的には求めているわけなんです。だから意味わからない数字ではないんですよ、とだけ。

例題として、面積の問題を出そうかと思ったんですが、結局、定積分を解くだけなので、積分の例題はなしにします。いっぱい問題を解いて積分に慣れてください!

【3】ちょっとしたオマケ
最終回なのでこのようなものを入れました。
今回、インターンで数学に関する記事を書かせていただきましたが、やはり、10回ではすべて語りつくせませんでしたし、最後まで読んだ人が数学を得意になるのか、というと自信がないです。しかし、これだけは言っておきます。

「数学は簡単である」

ということです。数学は難しいよ、何言ってんのという人もいるかもしれません。私自身、何度もつまづいて、あきらめたこともあります。けれども、そんな時は一回、頭を切り替えて「数学なんて簡単だ」と言い聞かせてみて下さい。すると、視野が広がり、今まで見えなかったものが見えてくるかもしれません。
また、第1回でも言いましたが、どうしてもわからないときは答えを見てください。そこにもきっとヒントがあります。

最後に、もっと気楽に数学を楽しんでみてください。楽しんで、普段の生活でも数字が見えるようになったら、その時、あなたは数学をマスターしたと言えるでしょう。

それでは、名残惜しいですが、以上で10回で覚える数学講座を終わりたいと思います。ここまで読んでいただき、ありがとうございました。

興味を持たれた方はこちらまでお気軽にお問い合わせください。※数学についての質問は受け付けていません。

10回で覚える数学講座「対数関数を得意にする方法」

皆様、こんにちは、好きな関数は二次関数、インターン生の石井です。
二次関数に限った話ではないのですが、関数の問題は解けるとすっきりするので結構好きです。解けないときはモヤモヤするんですけどね。

では、今回も10回で覚える数学講座始めていきましょう。第9回は「対数関数を得意にする方法」です。指数のおさらいは大丈夫でしょうか。
まずは、その指数関数と対数関数の関係についてですが、数Ⅲで習う逆関数というものになっています。詳しい定義は話しませんが、要は関係しあっている関数であるとわかっていただければいいです。つまりこの二つの関数はいたるところで似ているのです。
例えば、指数法則にあったa^m×a^n=a^(m+n)というのは対数の性質ではlog a (MN)=log a (M)+log a (N)となります。しっかり証明すればこの二つの関数がかかわっていることがわかるのですが、ここでは割愛します。

というわけで、対数の性質を復習しておきましょう。先ほども使いましたが、log a (b)は「a」が底で、「b」が真数です。読み方は「ログaのb」です。念のため。

①log a (MN)=log a (M)+log a (N)
②log a (M/N)=log a (M)-log a (N)
③log a (M^k)=k×log a (M)
④log a (b)=log c (b)/log c (a)……底の変換公式

この4つが基本ですね。たまに①と②を間違って覚えて、log a (M)×log a (N)=log a (M)+log a (N)とかlog a (M+N)=log a (M)×log a (N)とかにしている人を見ます。間違えないようにしっかり覚えておきましょう。
あと+αでこの式も覚えておくと便利です。

⑤log a (b)×log b (c)=log a (c)

これは底の変換公式を使うことで簡単に証明できるので、やってみて覚えてください。

では例題に移っていきましょう。まずは計算問題です。

例題「次の計算をせよ
①2log 2 (10)+log 2 (6)-log 2 (75)
②log 4 (8)
③log 2 (25)×log 5 (27)×log 3 (2)

①これは単純に性質の①~③を使うと簡単にできます。logの前にある数字を③の性質を使って書き換え、①、②の性質を使って計算しましょう。

2log 2 (10)+log 2 (6)-log 2 (75)=log 2 (10^2)+log 2 (6)-log 2 (75)=log 2 (100×6÷75)=log 2 (8)=3

というわけで答えは3です。

②これは、底の変換を使う問題です。早速やってみましょう。底は両方とも2の乗数なので2にします。

log 4 (8)=log 2 (8)/log 2 (4)=3/2

となります。
こんなのは余裕だという人は変換公式を使わず、暗算でやってみましょう。この式では「8は4の何乗でしょう」と聞かれています。さらに言い換えると「2^3は2^2の何乗でしょう」と聞かれています。指数に注目してみれば3/2になるのはわかりますよね?

③この問題は⑤の式を使うと簡単です。まずは式を整理してn乗をlogの前に出しましょう。

log 2 (25)×log 5 (27)×log 3 (2)=log 2 (5^2)×log 5 (3^3)×log 3 (2)=2log 2 (5)×3log 5 (3)×log 3 (2)=6×log 2 (5)×log 5 (3)×log 3 (2)

整数部分をとりあえず計算しておきました。あとは後ろの対数を⑤の式を使って書き換えるだけ。

6×log 2 (5)×log 5 (3)×log 3 (2)=6×log 2 (3)×log 3 (2)=6×log 2 (2)=6

となるので、答えは6です。勿論、底の変換公式を使って解くこともできます。

次は、よく出てくるけど忘れやすい問題です。

例題「9^log 3 (5)の値を求めよ」

この問題はではログが指数にあるので一瞬わからなくなるのですが、焦らずに考えていきましょう。まずはこの求めたい値をxと置きましょう。

9^log 3 (5)=x

次に、左辺に9があるので、底が3の対数をとり、性質③を使って書き換えます。

log 3 (9^log 3 (5))=x
log 3 (5)×log 3 (9)=log 3 (x)
log 3 (5)×2=log 3 (x)
log 3 (25)=log 3 (x)

すると一気に答えまで行きます。左辺と右辺を比べてみれば、x=25になりますよね。

このような感じで対数も性質を覚えていれば結構簡単に解けちゃいます。まずは苦手意識をなくすところから頑張りましょう。

さて、今回もこれで終わりです。残すところあと最終回の「微分・積分を得意にする方法」だけです。
次回もよろしくお願いします。

興味を持たれた方はこちらまでお気軽にお問い合わせください。※数学についての質問は受け付けていません。

10回で覚える数学講座「指数関数を得意にする方法」

皆様、こんにちは、好きな素数は双子素数、インターン生の石井です。
そろそろ数学好きなものシリーズがなくなってきました。頑張って探しておきます。双子素数は「p,p+2」が両方とも素数であることです。例えば、(11,13)など。

では、今回も10回で覚える数学講座始めていきましょう。残る単元も三つとなりました。第8回は「指数関数を得意にする方法」です。指数関数自体は苦手な人はあまりいないような気がしますが、ここがあいまいだと次回の対数関数で詰まってしまうのでしっかりやっていきましょう。

指数関数のポイントは「底をそろえる」ことです。

ということで、例題に入る前に言葉と指数法則の確認をします。

【言葉】
指数:数字の右上について累乗を表す数字。この講座では「^n」を使って表している。
底:指数の左下にある数字。具体的には「a^n」の「a」の部分。指数でこの言葉を使うことはあまりないが、対数を扱うときにはよく聞く。

【指数法則】
①a^m×a^n=a^(m+n)
②(a^m)^n=a^mn
③a^-n=1/a^n
④a^(1/n)=n√a(n乗根a)
⑤a^0=1

ですね。特に間違えやすい・忘れやすいのは指数法則の①と②です。実際に計算をすればわかるとは思いますが、実際の数字が出てこないで、文字で置かれてることも多いので、しっかり刻み込んでおいてください。
あと、指数の底が違う場合は計算ができないので、それも注意してください。

では例題に行きましょう。まずは簡単に指数法則の問題です。

例題「(1)2^3÷4^2×8^3を計算せよ。
(2)3√16(3乗根16)を2^nの形にせよ」

(1)底が違うと計算ができないのでまずは底をそろえましょう。どれに合わせてもいいですが、できるだけ小さいほうが望ましいので、2に合わせましょう。指数法則の②を使います。

2^3÷4^2×8^3=2^3÷2^4×2^9

次に、指数法則の①を使い、計算します。

2^3÷2^4×2^9=2^(3-4+9)=2^8

となります。

(2)これも2^nにすることが目的なので、まずは乗根の中身を変えていきます。

3√16(3乗根16)=3√2^4(3乗根2の4乗)

となります。次に3乗根を指数法則④に従って、変形させると

3√2^4(3乗根2の4乗)=2^4/3

となります。

次に、指数方程式です。

例題「方程式4^(x+2)-2^(x+1)-3=0を解け」

とりあえず、底がそろっていないと計算ができないので、4か2に合わせましょう。できるだけ小さいほうが都合がよいので、今回は2に合わせます。この時に指数法則の②を使います。

4^(x+2)-2^(x+1)-3=0→2^2(x+2)-2^(x+1)-3=0

次に、2^xをXで置き換えます。この時には指数法則の①を使います。

2^2(x+2)-2^(x+1)-3=0→16×2^2x-2×2^x-3=0→16X^2-2X-3=0

これなら因数分解できそうですね。というわけで因数分解します。

16X^2-2X-3=0→(2X-1)(8X+3)=0→X=1/2,-3/8

となります。ここで、2^x>0なので、X>0となり、X=1/2になります。ここで、マイナスの値をはじくことを忘れないようにしてください。あとはXを2^xに戻すと

2^x=1/2=2^-1
x=-1

が答えですね。

というわけで、底をそろえることがポイントでした。今回の指数関数はこのあたりで終わります。
次回も10回で覚える数学講座よろしくお願いします。第9回は「対数関数を得意にする方法」です。

興味を持たれた方はこちらまでお気軽にお問い合わせください。※数学についての質問は受け付けていません。

10回で覚える数学講座「図形と方程式を得意にする方法」

皆様、こんにちは、好きな無理数は√2、インターン生の石井です。

では、今回も10回で覚える数学講座始めます。第7回は「図形と方程式を得意にする方法」です。
今回も公式がいっぱい出てくる回です。できるだけ覚えやすいように整理していきたいと思います。

【1】内分点・外分点
まずは、基礎中の基礎、内分・外分からやっていきます。といっても内分は皆様大丈夫だと思います。というわけで外分のポイントですが、「小さいほうをマイナスにする」です。まずは軽く例題。

例題「2点A(1,4),B(4,7)について、次を求めよ。
(1)線分ABを1:2に内分する点P
(2)線分ABを1:2に外分する点Q」

さて、比較をするためにほぼ同じ問題にしてみました。というわけで解いてみましょう。内分の公式は覚えていますか?

P((2*1+1*4)/(1+2),(2*4+1*7)/(1+2))=P(2,5)

となりますよね。次に、外分を求めるわけなんですが、外分の公式は覚える必要はありません。
1:2という比率で、1と2を比べると1の方が小さいです。というわけで、この1をマイナスにして「-1」にします。そして、内分の公式を使いましょう。

Q((2*1+(-1)*4)/((-1)+2),(2*4+(-1)*7)/((-1)+2)=Q(-2,1)

となります。どうでしょう? 内分も外分も同じですよね。そう考えると簡単に思えませんか?

【2】軌跡
では、次に軌跡についてやっていきます。軌跡のポイントは「わからない点は勝手に置く」ことです。
軌跡では動く点がいくつか出てきます。この動く点については勝手に座標を置いてしまおう、ということです。

例題「円(x-3)^2+y^2=9上の点O(0,0)A(6,0)があり、点Qが円上を動くとき、三角形OAQの重心Pの軌跡を求めよ」

というわけで、まずは求める軌跡の点PをP(x,y)と置きましょう。これが一番重要なポイントです。
そして次にもう一個動く点Qがあるので、これは媒介変数(答えを出すための変数)s,tを使ってQ(s,t)と置きます。

では、一個ずつ条件を見ていきましょう。
Pは三角形OAQの重心なので、

x=(0+6+s)/3=(6+s)/3……①
y=(0+0+t)/3=t/3……②

になります。
次に、点Qの条件を考えます。Qは円上を動くので、s,tをもとの式に代入します。

(s-3)^2+t^2=9……③

になりますよね。で、このs,tをx,yで表せればよいので、s,tをx,yで表しましょう。そのために①と②を変形します。

①を変形 s=3x-6
②を変形 t=3y

あとは、③に代入するだけです。追加で、この場合、一直線だと重心はないので、(2,0)(4,0)は除きます。(A.半径1、中心(3,0)の円、ただし(2,0)(4,0)は除く)

という感じで、今回も終わりにします。次回も10回で覚える数学講座、よろしくお願いします。
次回は、第8回「指数関数を得意にする方法」です。残り3回頑張りましょう。

興味を持たれた方はこちらまでお気軽にお問い合わせください。※数学についての質問は受け付けていません。

10回で覚える数学講座「いろいろな式を得意にする方法」

皆様、こんにちは、好きな数列はフィボナッチ数列、インターン生の石井です。
数列は本講義では扱いませんが、興味があったら調べてみてください。

では、本日も10回で覚える数学講座始めていきます。本日は第6回「いろいろな式を得意にする方法」です。
単元名なので「いろいろな式」と言ってますが、やる内容としては整式の除法と因数分解です。因数分解は第2回でも取り扱いましたが、こちらでは、高校で習うレベルの因数分解です。

【1】整式の除法
整式の除法のポイントは、「組み立て除法」です。普通、整式の除法をやるときは筆算などを使って答えを出すんですが、割る整式が一次関数であれば、組み立て除法でやるととても簡単に商とあまりを求めることができるんです。高校の授業で扱うかどうかは先生次第なので、知らない人がいたら今からやってみましょう。

例題「f(x)=x^3+5x^2-2x+4をx+3で割った商とあまりを求めよ」

さて、この例題を解くわけですが、普通に筆算で答えを求めるとこうなります。

結構長いですよね。
というわけで、組み立て除法のやり方を説明します。

(1)割られる整式の係数を書き出します。

(2)その横に割る整式の定数部分の符号を逆にした数字を書きます。

(3)係数の一番左をそのまま降ろします。

(4)(3)の数字に(2)の数字をかけたものを(3)の右上に書きます。

(5)(4)の数字とその上にある数字を足します。

(6)繰り返します。

そうすると図のように答えが出てきます。(A.商x^2+2x-8 あまり28)

【2】因数分解
ここでのポイントは「降べきの順」です。因数分解する式が長くなった時や、今までの公式で使えなくなったときは、「降べきの順」にすることが大切です。

例題「x^2+5xy+6y^2+4x+9y+3を因数分解せよ」

この問題ですが、なんか、式の前半が因数分解できるからしちゃえー、ってやるとそのあとが一切できなくなります。こんな時に必要なのが、降べきの順です。因数分解で降べきの順を使うときは、基本次数の小さい文字に注目して降べきの順にするわけですが、今回はxもyもどちらも2次なので、好きなほうに注目して並び替えてください。今回はxに注目して並び替えます。

x^2+5xy+6y^2+4x+9y+3=x^2+(5y+4)x+6y^2+9y+3

並び替えられましたか?
さて、その次は、今度こそ、式の後ろが公式を用いて因数分解できるので、因数分解してください。たすき掛けを使います。

x^2+(5y+4)x+6y^2+9y+3=x^2+(5y+4)x+(3y+3)(2y+1)

ここまで来たらあとちょっとです。もう一回公式を使って因数分解するわけですが、使う公式は「x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)」という公式です。この公式では、xの係数が足し算で、定数部分が掛け算になっていることに注目してください。では、現在の式を見てください。後ろ(xを含まない部分)が掛け算になっていませんか?
というわけで、後ろにできた掛け算の式を足してみて、真ん中(xが1次の部分)になればいいわけです。

(3y+3)+(2y+1)=5y+4

ほら、なりましたよね。というわけで、公式でいうa=3y+3、b=2y+1とすると

x^2+(5y+4)x+(3y+3)(2y+1)=(x+(3y+3))(x+(2y+1))=(x+3y+3)(x+2y+1)

となります。できましたか?

さて、今回の10回で覚える数学講座は以上です。次回は、「図形と方程式」についてやっていきます。

興味を持たれた方はこちらまでお気軽にお問い合わせください。※数学についての質問は受け付けていません。

10回で覚える数学講座「三角関数を得意にする方法」

皆様、こんにちは、好きな立体図形は正二十面体、インターン生の石井です。
正二十面体とか、見てるとキレイな形ですけど、見取り図をかけと言われてもかける気はしません。

では、今回も10回で覚える数学講座始まります。第5回は「三角関数を得意にする方法」です。
三角関数では公式が多めで、ポイントというほどのポイントは多くありません。しいて言えば覚える公式を整理しておくことでしょうか。

というわけで、最低限三角関数で覚えておかなければいけない公式を整理しておきます。具体的な式は書きませんので、自分でノート1,2ページでまとめて書いてみるとよいのではないでしょうか。

1.0~2πまでの有名角の三角関数の値
これがもっとも基礎の暗記事項。そんなに覚えられないという方もいると思うので、後程、覚え方を紹介します。
2.三角関数の相互関係
3つあるやつです。sinの2乗とcosの2乗を足すと1になるなど。3つすべて言える人はどのくらいいるのでしょうか。
3.三角関数の性質
これはsin(θ+π)やcos(-θ)の式です。覚える際は自分で三角形を書きながら覚えると覚えやすいと思います。
4.正弦定理、余弦定理
数Ⅰの三角比で扱った公式です。あんまり使うことはないですが、念のため。
5.加法定理
よく使う公式の代表といってもいいかもしれません。語呂合わせで教わった人も多いかと。
6.倍角の公式、半角の公式
2倍角の公式は当然として、出来れば3倍公式も。半角の公式は2倍角の公式から求められるようになっておくとど忘れした時も安心です。
7.三角関数の合成
sinとcosの混ざった式からsinだけの式に変形する公式。主に最大最小問題によく使われます。
おまけ.和積の変換公式
三角関数において一番覚えにくい公式といっても過言ではないこの公式。加法定理から導けるようになっておくといいでしょう。(動画では6個、12個といったのですが、足し算から掛け算で4個、その逆で4個の計8個でした。訂正します)

以上7+1種類の公式があります。
これらを覚えるコツは公式を暗記するのではなく、公式の作り方を覚えることです。無理やり公式すべて暗記しても問題はないですが、脳の許容量からあふれ出る可能性が高いです。なので、できる限り公式のでき方を覚えることが大切です。

では、覚え方のコツを紹介します。覚え方のコツは、「5つの数字」です。
5つの数字というのは

sin,cos「0,1/2,√2/2,√3/2,1」
tan「0,1/√3,1,√3,値なし(×)」

のそれぞれ5つです。三角関数の値にはこれら5つずつしか登場しません。さらに言えば、有名角にも「nπ,nπ/6,nπ/4,nπ/3,nπ/2」の5種類しかありません。つまり、この5つの角度と5つの三角関数の値は対応しているわけです。

例えば、sin(π/6)とsin(5π/6)は両方とも、1/2です。では、sin(7π/6)とsin(11π/6)はといえば-1/2なわけです。つまり、マイナスがつくか、つかないかだけで、値は変わっていません。そして、マイナスがつくかどうかは、象限によって違いますよね? sinは第1,2象限、cosは第1,4象限、tanは第1,3象限がプラスで他がマイナスです。なぜそうなるかは、10回で覚える数学講座、第3回の三角比をご覧ください。

では例題に行きます。例題といっても今日は簡単な問題です。

例題「(1)sin(25π/6)の値を求めよ
(2)cos(17π/12)をπ/4以下の角度を用いて表せ
(3)tan(π/12)の値を求めよ」

(1)まず、角度がnπ/6なので、値は1/2か-1/2になることがわかります。
そして、25π/6は2πよりも大きいので、0から2πの間の角になるように調整します。

sin(25π/6)=sin(π/6+2*2π)=sin(π/6)

あとは、答えを出すだけですね。(A.sin(25π/6)=1/2)

(2)これは慣れるまでちょっと難しいですが、ポイントは2π以上か、2πより小さくπ以上か、πより小さく、π/2以上かです。これは2π以上であれば、三角関数の性質の(θ+2nπ)の性質を使い、2πより小さくπ以上であれば(θ+π)の性質、πより小さく、π/2以上であれば(θ+π/2)の性質を使えばいいわけです。π/2未満、π/4以上の際は、(θ+π/2)の性質を使ってから(-θ)の性質を使ってください。
やってみます。

cos(17π/12)=cos(5π/12+π)=-cos(5π/12)  ←2πより小さくπ以上なので(θ+π)の性質
-cos(5π/12)=-cos(-π/12+π/2)=sin(-π/12)=-sin(π/12)  ←π/2より小さく、π/4以上なので(θ+π/2)の性質を使ってから(-θ)の性質

というわけで、答えとなります。(A.-sin(π/12))

(3)これは単純に加法定理の問題です。
π/12=π/3-π/4なので
tan(π/12)=tan(π/3-π/4)=(√3-1)/(1+√3)
です。簡単でしたね。

こんなところで、今回も終わりにしておきます。いよいよ残り半分。次回は、「いろいろな式」についてです。

興味を持たれた方はこちらまでお気軽にお問い合わせください。※数学についての質問は受け付けていません。

10回で覚える数学講座「数Aを得意にする方法」

皆様、こんにちは、好きな平面図形は六角形、インターン生の石井です。
平面図形は点対称よりも線対称の方がなんかキレイな気がしません?

では、今回も10回で覚える数学講座始まります。第4回は「数Aを得意にする方法」です。内容は「条件付き確率」と「ユークリッドの互除法」です。

【1】条件付き確率
条件付き確率のポイントは、またしても「問題文をよく読む」ことです。よく読み、事象Aはどれで、事象Bがどれなのかを決めることが重要になります。

例題に行く前に、定義の確認だけしておきます。
事象Aが起きたとき、事象Bが起こる条件付き確率は

P(B|A)=P(A∩B)/P(A)

となります。式の意味としては、事象Aが起きる確率のうち、事象Aと事象Bが同時に起こる確率を求めています。
式は簡単ですが、問題文を読むとどっちが事象Aだか、事象Bだか、そもそも事象Aが起きたときに事象Bが起きる確率なのに、なんでP(B|A)ってBが先に来てるの、だとかありますが、とにかく覚えておいてほしいのは、事象Aというのは範囲であり、その中で起こる事象Bの確率を求めたいわけなんです。つまりP(範囲の事象|求めたい事象)って感じですかね。

少し整理できてきましたか? それでは、例題です。

例題「ジョーカーを除いたトランプ52枚から1枚引くとき、マークがダイヤであったとき、絵札である確率を求めよ」

さて、まず事象Aと事象Bを決めましょう。どっちでもいいんですが、ここでは、事象Aを範囲の事象、事象Bを求めたい事象としましょう。すると

事象A:マークがダイヤである
事象B:絵札である

となります。
では、それぞれの確率を求めていきましょう。
P(A)=13/52=1/4(ダイヤのカードは13枚)
P(A∩B)=3/52(ダイヤの絵札は3枚)
というわけで答えはP(B|A)=3/13となります。

ポイントは事象A(範囲の事象)と事象B(求めたい事象)を問題文から読み取って決めることです。

【2】ユークリッドの互除法
ユークリッドの互除法のポイントは、「あまりのある式の書き換え」です。
どういうことかといえば、小学校の頃、あまりのある割り算のときは式の後ろに「あまり2」とか「…2」とか書いたと思いますが、数学では使わなかったと思います。ではどうやって表すかというと

a÷b=qあまりr → a=b×q+r

と、変換することができました。うまくイメージできない人はaとbに数字を当てはめて計算してみましょう。

さて、では例題に行きます。例題は一次不定方程式への応用です。

例題「43x+30y=1の解を1つ求めよ」

まずはユークリッドの互除法をしていきましょう。

43÷30=1あまり13
30÷13=2あまり4
13÷4=3あまり1

これを変形していきます

「あまり」を使わない形に変形
43=30×1+13
30=13×2+4
13=4×3+1

「あまり」が右辺に来るように変形
13=43-30×1……①
4=30-13×2……②
1=13-4×3……③

①の4に②を代入
1=13-(30-13×2)×3
=13×1-30×3+13×6
=13×7+30×(-3)……④

④の13に①を代入
1=(43-30×1)×7+30×(-3)
=43×7-30×7+30×(-3)
=43×7+30×(-10)……⑤

⑤と問題の式を比較すると、(x,y)=(7,-10)というのが答えですね。
ここからさらに発展した問題もあるんですが、そこはこれがわかればなんとかなると思うので、今回はここまでです。

次回は数Ⅱの三角関数について扱います。

興味を持たれた方はこちらまでお気軽にお問い合わせください。※数学についての質問は受け付けていません。

10回で覚える数学講座「数Ⅰを得意にする方法」

皆様、こんにちは、好きな数字は36、インターン生の石井です。
36といえば、6番目の高度合成数らしいですね。高度合成数って何、と言われれば、それまでの自然数の中で最も約数の多い数という意味です。つまりは、とても約数が多いということです。

では、今回も10回で覚える数学講座始めましょう。第3回は「数Ⅰを得意にする方法」です。内容は「三角比」と「二次関数」についてやっていきます。

【1】三角比
三角比のポイントは、「円」です。三角なのに円がポイントと言われたらちょっと首をかしげるかもしれません。
というわけで、まずは、三角比で使うsin、cos、tanについておさらいしましょう。下の図を見て下さい。

これがsin、cos、tanの定義です。皆様も見たことはあると思います。
さて、ここで出てくるのが「円」です。この三角形を円に当てはめてみましょう。

こんな感じですね。改めて、説明しますと、xは「x座標」、yは「y座標」、rは「半径」です。
では、もしこの円が半径r=1の単位円だったとしましょう。するとさっきの定義はこうなります。

sinθ=y
cosθ=x
tanθ=y/x

これで気付きますか? そう、sinは単位円のx座標、cosは単位円のy座標になりました。じゃあ、tanはというと、「yの増加量/xの増加量(xの増加量分のyの増加量)」って聞いたことありません? tanは「変化の割合」さらに言えば「傾き」となるわけです。

三角比では、θは0度から180度なので、円の上側、つまりsinはずっと正の数です。それだけ分かれば三角比は大丈夫です。というわけで、残念ながら三角比の例題は無しです。どうしてもという方は10回で覚える数学講座 第5回「三角関数を得意にする方法」へどうぞ。発展ですが、この考え方さえ分かれば余裕なはず。

【2】二次関数
やってきました、二次関数。ここでのポイントは「頂点の位置」です。頂点の座標はどこか、頂点と定義域の位置関係はどうなっているのかが大切です。特に位置関係を考える場合はイメージが難しいので、最初は図を描きましょう。段々と慣れていくと思います。
それでは、例題に移ります。例題は二次関数の最大最小です。

例題「y=x^2-4ax+1(-2≦x≦2)の最大値・最小値を求めよ」

問題文は短いですが、答えがとても長いです。なので、答えを覚えるのではなく、答えの出し方を覚えてください。前回も出てきましたが「x^2」は「xの2乗」を表します。
解き方ですが、まずは頂点の座標を知らなければどうにもなりません。
というわけで、平方完成をします。

「y =x^2-4ax+1
=(x-2a)^2-4a^2+1

頂点(2a,-4a^2+1)」

ですよね? しっかり平方完成できましたか?
次に、頂点のx座標の「2a」と定義域を比べていきます。
この放物線は下に凸なので、より頂点に近いほうが最小値となり、遠いほうが最大値になります。そんなことない、という人は下に凸のグラフといっぱい書いてみましょう。
そして、比べていくんですが、「a」という定数が入っているため、どこにあるかひとつには決まりません。というわけで、場合分けです。
場合分けと聞いて、嫌な顔をする人もいるでしょう。そういう人はまず自分に「そのくらい簡単に出来る!」と言い聞かせてください。なんとかなります。

場合分けの基準は「最小値もしくは、最大値が変化するとき」です。

この場合、最小値・最大値を求めるので、5通りに分かれます。片方だけを求める場合には3通りになりますので、問題をよく読んでくださいね。変化の範囲は次の通りです。

最小値の範囲は「定義域の左側」「定義域の中」「定義域の右側」の3つ。
最大値の範囲は「定義域の真ん中より左側」「定義域のちょうど真ん中」「定義域の真ん中より右側」の3つ。
これらの範囲を統合すると、「定義域の左側」「定義域の中で、真ん中より左側」「定義域のちょうど真ん中」「定義域の中で、真ん中より右側」「定義域の右側」の5つになります。

あとは一気に答えを書きます。文字ばっかで分かりにくいと思うので、下の図と対応させながら見るとわかりやすいと思います。
(Ⅰ)2a<-2よりa<-1の場合 x=-2のとき最小値8a+5 x=2のとき最大値-8a+5

(Ⅱ)-2≦2a<0より-1≦a≦0の場合 x=aのとき最小値-4a^2+1 x=2のとき最大値-8a+5

(Ⅲ)2a=0よりa=0の場合 x=a=0のとき最小値1 x=-2,2のとき最大値5

(Ⅳ)0<2a≦2より0<a≦1の場合 x=aのとき最小値-4a^2+1 x=-2のとき最大値8a+5

(Ⅴ)2≦2aより1≦-1の場合 x=2のとき最小値8a+5 x=-2のとき最大値8a+5

というわけで、今回はおしまいです。
次回は数Aについてやっていきます。

興味を持たれた方はこちらまでお気軽にお問い合わせください。

10回で覚える数学講座「中学数学を得意にする方法」

皆様、こんにちは、好きな公式はテイラー展開の公式、インターン生の石井です。
10回で覚える数学講座第2回「中学数学を得意にする方法」始めていきましょう。

今回は中学数学です。「方程式・関数の応用」「証明」「因数分解」についてやっていきます。

【1】方程式・関数の応用
方程式・関数とまとめましたが、この応用のポイントは何といっても文章をよく読むことです。
どこかで見たと思った方、きっと第1回の記事の数学を得意にする方法の1つ目をご覧ください。
そう、ポイントは「声に出して読むこと」です!

例題「ある学校の去年の生徒数は550人でした。今年の生徒数は男子が9%減り、女子が4%増えたため、533人でした。さて、今年の男子の生徒数と女子の生徒数はそれぞれ何人でしょう」

さて、皆様、声に出して読んでいただけましたか。声に出して読んでないという人はもう一度、声に出して読んでみてください。これだけでおそらく、80%終わりです。残りの20%のうち、15%が式を立てることで、5%が立てた式を解くことです。

今回は連立方程式の応用から出題しました。皆様も一度は見たことがあるかとは思います。では、式を立てていきましょう。この問題は三文に分かれていますが、注目すべきは前の二文。つまり、ここがそれぞれ式になるというわけです。
あとは、普通は問われている数をxやyでおくんですが、今回の問題では、直接出せないので、去年の男子の人数をx、女子をyとおくと

x+y=550……①(男子と女子を合わせたら550人)
-9x/100+4y/100=-17……②(男子が9%減り、女子が4%増えたら17人減った)

という式ができます。
あとは解くだけなので割愛。(A.今年の男子……273人 今年の女子……260人)

そんな感じで方程式・関数の応用は問題文をとにかく読むことが大切です!

【2】証明
さて、では次に証明についてです。証明のポイントは「前提」「理由」「結論」です。この三つの文章を書けば終わりです。難しい文章は必要ありません。

例題「以下の図でABとDEは平行であり、等しい。三角形ABCと三角形EDCが合同であることを証明せよ」

では、解いていきましょう。
まず、「前提」。これは、どの図形や式について証明するかを書きます。今回は「三角形ABCと三角形EDCにおいて」です。
次に、「理由」。これは、言葉と式で結論の根拠を書きます。今回は「仮定よりAB=ED……①ABとDEは平行なので角ABC=角EDC……②、角BAC=角DEC……③」。ここで、合同を証明したい各点の対応に気を付けてください。
最後に、「結論」。これは問題文の最後をそのまま書きましょう。今回は「三角形ABCと三角形EDCが合同である」です。ただし、これだけだと足りないので、「①から③より、一辺とその両端の角が等しいので」という「理由」でわかったことを書いてあげてください。
すると

「三角形ABCと三角形EDCにおいて」
「仮定よりAB=ED……①ABとDEは平行なので角ABC=角EDC……②、角BAC=角DEC……③」
「①から③より、一辺とその両端の角が等しいので」
「三角形ABCと三角形EDCが合同である」

という答えが出来上がります。

証明は「前提」「理由」「結論」しっかり分けて考えることが大切です!

【3】因数分解
最後に、因数分解について触れます。因数分解のポイントは、公式の暗記と文字の置き換えです。

例題「(x+2)^2+5(x+2)+6」を因数分解せよ。

この問題の「(x+2)^2」は「(x+2)の2乗」を表しています。わかりにくかったら自分で紙に書いてみるといいと思います。
さて、よく見るとこの式には(x+2)が2回出てきています。これは怪しいですね。というわけで、(x+2)をAと書き換えましょう。
すると「A^2+5A+6」とすっきりしましたね。
あとは公式で因数分解し、Aをx+2にもどしたら完成です。(A.(x+4)(x+5))

というわけで、中学数学の因数分解は、公式の暗記と文字の置き換えで解けます!

どうでしょうか。少しだけ、数学のコツわかりましたか?
次回は数Ⅰについてやっていきます。

興味を持たれた方はこちらまでお気軽にお問い合わせください。

10回で覚える数学講座「数学を得意にする方法」

はじめまして、高校のときに数学の世界にどっぷりはまってしまったインターン生の石井です。

10回で覚える数学講座へようこそ。
このページを見てくれた皆様の中には「数学」と聞くと嫌な気分になったり、目をそらしたくなったりする方も多いんじゃないかと思います。
この記事では、中学数学から数Ⅱまで、そんな皆様が詰まりやすいような難しめの問題とともにそのポイントを書いていきます!

訳も分からないまま始めても混乱してしまうと思うので、まずは10回分の内容を一気に紹介します。この流れを理解する作業こそ、数学やほかの科目でも大事なポイントになります。なぜかといえば、むやみやたらと頭に詰め込むよりも関連性や流れを知ることで頭の中を整理することができ、効率よく覚えられるからです。

今回は主に流れの説明と数学を得意にする方法を書いていきます。

以降はこのような流れと内容です。

第2回 方程式の応用、証明、因数分解(中学数学)
第3回 三角比、二次関数(数Ⅰ)
第4回 条件付き確率、ユークリッドの互除法(数A)
第5回 三角関数(数Ⅱ)
第6回 いろいろな式(数Ⅱ)
第7回 図形と方程式(数Ⅱ)
第8回 指数関数(数Ⅱ)
第9回 対数関数(数Ⅱ)
第10回 微分積分(数Ⅱ)

こんな流れで解説していく、ということを理解してもらえたら第1回では数学を得意にする方法を3つ伝授します。

まず、1つ目。「数学は国語である。わからないときは音読せよ」

これは、文章題などで詰まっている人に教えたい方法です。
式は解けるのに、文章題になると全く分からない。そんな人は声を出して文章を読んでみてください。大きな声でなくてもいいです。小さな声、もう声に出さなくても口を動かすだけでもいいです。黙読以外の方法で読んでみてください。1回だけじゃなく、何回でも読んでください。
どうですか? さっきまで見えなかったヒントが見えているはずです。

次に、2つ目。「間違いを見つけろ。ヒントは違和感である」

これは、計算ミスが多い人が気を付けてほしいポイントです。
「間違いが見つからないから間違えてるんじゃん、何言ってるの?」。確かにそれはそうです。でも、見つけられる間違いもあるんじゃないでしょうか。
例えば、答えを求めたとき、すごく大きな数の分数になってしまった。これはあってるでしょうか? たぶん、どこかで計算ミスをしたんですよね。間違った答えにはそんな違和感があることが多いです。
計算ミスが多い人は自分の答えをもう一度見て下さい。どこかに違和感はありませんか?

最後に、3つ目。「わからなければ答えを見よ。不安であれば答えを確認せよ」

皆様も、きっとわからなかったときや不安なときありますよね。そういったときはどうしますでしょうか。いろいろあると思いますが、私はその場で「すぐに」答えを確認するべきだと思っています。
なぜなら、問題を覚えているうちに答えや解説を見ることで、理解することができるからです。
また、不安なときもすぐに見ればあっているか、間違っているかわかるし、間違っていた場合、自分が間違えやすい場所を発見できるのです。
じゃあ答えを写してもいいんじゃないかと思った人は、絶対やめてくださいね。答えというのは問題を理解しようとしたときには「知識」になりますが、写そうとしたときには「ただの文字列」にしかなりません。

このような感じで今回解説させていただきましたが、おそらく次回以降は「問題」→「ポイント」→「答え」のように進めていく予定です。

インターンの間はこのような形で数学について少しでも知っていってほしいと思います。
興味を持たれた方はこちらまでお気軽にお問い合わせください。

返信する