大学数学 こんなのを学ぶ


注意:こういったことには初心者ですので、誤字・脱字・言葉の誤用・内容の誤り等が多発しているかもしれませんが、
そこらへんは暖かい目で見守ってくれたならば嬉しく思います。
本日で三回目となりますので、前回の続きである大学三年生での授業について説明させていただきます。
三年生になりますと、必修科目というものがなくなります。つまり線形代数や微分積分といった基礎的な内容から脱却し、代数学、幾何学や解析学、確率といった高等な、専門的な内容を学んでいきます。
代数学は環(その集合の元同士の和や積がその集合となる集合)や群や様々なイデアル(ある性質を持った集合)など、特に数自体やその集合の性質について学んでいきます。
幾何学についてはすいませんが、学習していませんのでいまいち分かりません。
解析学は積分した数がどんな値の範囲に属しているか、どんな値と等しいかなどの積分した写像の性質についてなどについて学習していきます。
確率は高校や中学で習ったように期待値や確率などを習っていきますが、ここではそれ以外にも関数の期待値や確率の求め方を習っていきます。
これらは一年生や二年生で学んだ内容を何の脈絡もなく、知っているのがさも当然であるかのように使っていたりしてかなり難しいです(煩雑な計算を行ったり、しっかりとした証明を書かなくてはいけないですし)。ものによってですが、本当に事前によく一、二年の内容を復習していておいて、その授業の復習、予習にかなりの時間をかけなければ太刀打ちできないくらい難解な内容があったりするので、気張って頑張って過去のノートを調べながら考え続けてみてください(そもそもいくら考えてもマジで何も分からないというようなものも存在しますが、そこらへんは教授に色々と訊いてみてわかるようにしてみたらいいです。訊くことは恥ずかしいことではないし、分からないのが当然のことですので、どしどし訊いてみてください。)。
RやMapleなどの計算ソフトの使い方を学ぶ授業があったりなどそれ以外にも様々な授業がありますが、おおよその一年間の授業は上記のように進んでいきます。この記事を読んでみて、少しでも大学数学へのイメージを固めてもらえたなら幸いです。
残念ながら、今回の記事でもう最終回です。もう私はこの続きを書くつもりはこれっぽちもありません。ですので、たった三回という少ない期間ですが、私の拙い記事を読んでくれてありがとうございます。ではさよなら。

大学数学 こんなのを学ぶ

注意:こういったことには初心者ですので、誤字・脱字・言葉の誤用・ある程度忘れていると思うので内容の誤り等が多発しているかもしれませんが、
その点について目をつぶっていただけたなら嬉しく思います。

こんにちは、本日は前回の続きである、大学二年時で学ぶ数学について詳しく書いていきたいと思います。
二年時の前期の必修授業は一年時の前期と違い、線形代数はなくなります。
そして、その代わりとして、代数学入門や微分方程式入門が加わるなどやや専門的(四年時にどの分野を研究するか決める目安にはなるぐらい)な内容に入っていきます。
さて、内容についてですが、代数学入門とはその名の通り、代数学の基本について学んでいきます。
特にエラクトテレスの篩を使ってその数が素数であるかの証明や環とは何なのかや数式における合同記号とは何を意味するのかや
暗号という分野、銀行口座などの暗証番号が外部にばれずに伝達するために因数分解はどのように関わっているのやらを学んでいきます。
まぁ、詳しく知りたい人は高いと思いますが、何でもいいので代数学の本を買って読んでみてください。
微分方程式ではある特定の性質を持つ式の解の求め方などについて色々と学んでいきます。それも二次方程式の解を求める公式
のような具体的な数字(2、3のような)ではなく、解となる数の集合(eのix乗が解になるみたいな)について求めていきます。
後期の必修では今まであった微分積分が無くなり、代わりに複素関数について学んでいきます。
複素関数では複素平面上の関数の積分を行ったり、孤立特異点(積分しようとしている区間内における積分できない点)を
留数定理を用いて、導いたりします。
ちなみに、二年時には選択科目という学ぶべきだけど必ずしも学ばなければならない、というわけではないものがあります。
例えば、一年次の線形代数の続きや数式の答えを導くためのアプリ、RやMapleといったものに触れていく計算機という授業があります。
これらは四年時に入るゼミへの影響があるので、どういう系統に進みたいかをよく考えて、色々と学んでみてください。
とまぁ、おおよそ一年は上記のように一年の基礎的な内容が終わり、専門的な内容が始まり進んでいきます。この記事を見て、少しでも大学数学へのイメージを固めてもらえたなら幸いです。
残念ながら、今回の記事でもう最終回です。もう私はこの続きを書きません。たった二回ですが、私の拙い記事を読んでくれてありがとうございます。ではさよなら。

大学数学 こんなのを学ぶ

注意:こういったことには初心者ですので、誤字・脱字・言葉の誤用・内容の誤り等が多発しているかもしれませんが、そこらへんは広い心で受け流してもらえたら嬉しいです。

本当に唐突ですが、大学の数学ってどのようなものか、想像できますか?いまいち具体的なものは分からないけども、高校数学の発展だから凄い煩雑な計算をするのかなとか、恐らくそんな漠然としたイメージしか浮かばなかったと思います。そして、漠然なイメージしかお持ちでないと、やっぱりその学科への入学を目指しにくいのではと思います。私としては是非とも、多くの人にどうにかして数学科に入りたいと志してもらいたいので、本日は大学で学ぶ数学とはどのようなものなのか、特に一年次で学ぶ内容について詳しく書いていきたいと思います。
まず、殆ど全ての大学の一年目の前期課程において、線形代数と微分積分について学んでいきます。線形代数ではベクトルとか行列について学んでいきます。特に微分積分は微分やら積分やらをやるのかとイメージするかもしれませんが、基本的には一学期の範囲では行いません。二学期以降で行います。じゃあ、何をするんだと言われますと、おおよそは高校までで行ったことの厳密な証明です。例えば、その写像(関数と思ってもよい)が連続であるのか否かをε-δ論法を用いて証明することやある数列が収束するか否かをε-N論法を用いて証明することなどをしていきます。(ε-δ論法は簡単に言えば、隣り合った数の関数の値が隣り合っているかを確かめる、ε-N論法はnが大きくなるほど、ある値(収束点)との距離が縮まるかを確かめる方法です。)興味を持ったら、何でもいいので大学生用の微分積分の本を買ってみてください。
後期では前期で行った微分積分(今回は高校で行った微分と積分よりも難しい計算がメインになります)と線形代数の続きに加えて、更に集合と論理というのも行っていきます。これも前期の微分積分同様、証明問題を解くのがメインになってきます。例えば、ある集合([2、3]とか(2、3)のような数の集まり)とある集合の濃度(その集合の持つ元(数字)の数)は同じであるのかを集合から集合への全単射となる写像を例として上げたりしながら、証明したりします。
最初の一年はおおよそは上記のように進んでいきます。この記事を見て、少しでも大学数学へのイメージが固まってもらえたなら幸いです。では、今回はここまでです。ご閲覧ありがとうございます。

ゲームプログラミングから見る数学 #5 ~行列・後編~

こんにちは。インターン生の小野です。

いよいよ最終回となってしまいました。
今回は、3Dモデルの描画について書いていきたいと思います。

3次元の空間に物を描画する、ということは、ベクトルを(x, y)のように表すことはできません。
z軸(奥行き)というものが存在するため、(x, y, z)と3つのベクトルで表します。

ベクトルが3つになったので、3×3行列で考えます。
3×3行列になっても計算方法はほとんど変わりません。
単純に計算が少し大変になるだけです。

さて、3次元空間でも行列を扱えるようになったと言いたいところですが、実はそんなことはありません。
3Dグラフィックスの世界では、3×3行列ではなく「4×4行列」を扱います。

変換する前のベクトルが(x, y, z, 1)となっており、4つ目のところには今回1が設定されています。
なぜ1なのかを書くとちょっと長くなるので、この記事では省略します。

4×4行列を扱う理由として「拡大縮小・回転・移動がすべて1つの行列で済む」ということがあります。
その結果、処理を高速化することが出来ます。
上の2つの図を見てみると、3×3行列は9回、4×4行列は16回の掛け算を行っています。
例として拡大してから回転させる、という処理を考えると、3×3行列なら9×2の18回、4×4行列なら16回の掛け算を行うことになります。
比べてみると4×4行列のほうが計算数が少ないですね。
3D処理はほかの処理と比べて特に処理が多いので、1つの行列にまとめて計算するほうが効率がいいのです。

また、行列の性質として、「掛け算の順番を変えると結果が変わる」という性質があります。
行列の世界においては、2×3と3×2は答えが違ってきます。
掛ける順番を間違えないためにも、1回の処理で済ませたほうがいいということが分かります。

では、実際に計算の例をみてみましょう。

拡大縮小の処理です。これは前回も似たような行列を扱いました。
行列の右の列と下の行を除けば、そのまま前回の行列と同じ形になります。

平行移動の処理です。3Dグラフィックスの世界ではこれも行列で扱います。

これらの処理を繰り返し行うことで、モデルにアニメーションをさせています。
みなさんが遊ぶ3Dゲームも、行列による変換を繰り返すことで作られているのです。

「ゲームプログラミングから見る数学」の記事、いかがだったでしょうか。
ここで書いたことがすべてではありません。
説明のために簡略化した部分や、省略した話もあります。
この記事をとっかかりにして、ぜひ自分で調べてみてください。
ここまで読んでいただき、本当にありがとうございました。

興味を持たれた方はお気軽にお問い合わせください。

ゲームプログラミングから見る数学 #4 ~行列・前編~

こんにちは。インターン生の小野です。

いよいよ第4回の記事となりました。今回のテーマは『行列』です。
高校でも扱わないことがあるので知らない方も多いと思います。
早速やっていきましょう。

まず、行列とはこのような形をしています。

数字が4つ書いてありますね。
数字が2×2で並んでいるため、これを2×2行列と呼びます。
行列は基本的に、ベクトルに対して計算します。
今回は例として、ベクトル(2, 3)を考えます。

このように掛け算を行います。ベクトルは縦に書きます。
行列とベクトルの計算は次のようにします。

分かりやすいように色をつけました。
計算結果から、(8, 18)という新しいベクトルが出てきました。
このように、行列とは「ベクトルから新しいベクトルを作り出す計算」のことを指します。
プログラミングでいう関数のようなものです。

さて、次の例を見てみましょう。

(3, 4)というベクトルが、(9, 8)というベクトルに変換されました。
これをみて気づくことはないでしょうか。
3 × 3 = 9
4 × 2 = 8
行列の数字の分だけ拡大されたベクトルになっています。
右上と左下が0の行列は、特定の量だけ拡大する行列となります。

次の例は、ゲームにおいて特に重要な行列です。
それは、回転行列と呼ばれるものです。
その名の通り、ベクトルを回転させる行列のことです。

回転行列は、このような形をしています。
三角関数がここでも出てきます。
この行列を掛けると、原点を中心として回転する、という性質があります。

今回は(4, 0)のベクトルを90度回転してみました。
sin90°= 1、cos90°= 0なので、
結果は(0, 4)と、確かに90度回転しています。

このように、掛ける行列によっては、拡大縮小や回転といったベクトルの変換ができるのです。
キャラクターを動かす処理が三角関数なら、行列はキャラクターそのものを変化させる処理、と言えます。

さて、ここまで行列についてみてきましたが、正直行列で計算を行うことのメリットがわからないと思います。
それもそのはず、行列計算が最も使われているのは、2次元ではなく3次元空間での3Dグラフィックの処理なのです。
3Dモデルを描画するためには、行列による計算は必要不可欠です。
次回は、3Dモデルの描画に行列がどのように使われているか書いていきたいと思います。

今回はここまでです。
次回が最終回ですが、最後まで読んでいただけると嬉しいです。

興味を持たれた方はお気軽にお問い合わせください。

ゲームプログラミングから見る数学 #3 ~三角関数・後編~

こんにちは。インターン生の小野です。

前回に引き続き、三角関数のお話です。
説明していなかった、タンジェントの性質について見ていきます。

まずはタンジェントの定義から。前回の図を持ってきます。

この図において、
tanθ = b / a = sinθ / cosθ
が成り立ちます。
タンジェントは、サインとコサインで表現することが出来ます。

さて、前回ではベクトルを2つに分け、それぞれ大きさは長い辺の、
右向き(x軸の方向)はcosθ倍
上向き(y軸の方向)はsinθ倍
で決まることが分かりました。
tanθ = (y方向の大きさ) / (x方向の大きさ)
なので、タンジェントとは「斜めの辺がどれくらい傾いているか」を表す値となります。

このタンジェントという値は、ゲームにおいてそのまま使われることもありますが、実はもっと使う場面が多いものが存在するのです。
それは『アークタンジェント(atanと略されます)』という値です。
タンジェントが最後の1つと書いたにも関わらず、新たな言葉が出てきました。
実はサイン、コサイン、タンジェントの他にも三角関数はあります。
(数学でもゲームでも使わないものが多く、少し複雑なので今回は扱いません)

ちょっとかっこいい響きのアークタンジェントですが、考え方は簡単です。
タンジェントは「角度から傾きを求める」関数でしたが、
アークタンジェントは「傾きから角度を求める」関数です。
上の図の例で言えば、
atan(b / a) = θ
ということになります。タンジェントの逆計算ですね。

では、具体的にどのような場面で使われているかというと、
シューティングゲームでよく見るホーミング弾(追跡弾)の動きです。

プレイヤーキャラクターへ向けて弾を動かしたいときに、
図の赤いベクトルを作りたい時を考えます。

このような直角三角形を考えると、プレイヤーキャラクターと弾の位置の差から
a, bの長さが分かります。
そこから、アークタンジェントを用いて
atan(b / a) = θ
のように角度を求めてあげれば、長い辺の長さも
c = a / cosθ
で分かるため、目的のベクトルを算出できます。

しかし、少し問題があります。
前回の最後にも書いた、時計回り・反時計回りの区別です。
これを逆にしてしまうと、進行方向も逆になってしますので、
注意するようにしてください。

今回はここまでです。
何に使うかわからなかった三角関数が、実はキャラクターを動かすのに使われている、ということを知ってもらえたら嬉しいです。
次回は、知らない方もいるであろう『行列』についてです。

興味を持たれた方はお気軽にお問い合わせください。

ゲームプログラミングから見る数学 #2 ~三角関数・前編~

こんにちは。インターン生の小野です。

第2回のテーマは『三角関数』です。
サイン、コサイン、タンジェント。これだけ覚えてる方も多いと思います。
ではこれらはいったいどのように使われているのでしょうか。

ゲーム内で物を投げた時を想像してみましょう。
プレイヤーから斜め前へ向かって飛び出し、山なりに進んで地面に落下する…
そんな感じに動くと推測できます。
つまり、斜め上向きのベクトルですね。
この動きを表現するために、このままだと扱いにくいので、
第1回で書いた「1つのベクトルを2つのベクトルに分ける」ということをします。

今回の例では、重力が関係する上向きと、関係しない前向き(右向き)の2つに分けます。
斜め向きよりも縦横の向きのほうが分かりやすいからです。
現実世界でも道案内するときに右斜め前30度に○○m、とはあまり言いませんよね。
まっすぐ○○m行って、右に曲がって○○mということが多いのと同じです。

さて、2つに分けましたが困ったことがあります。
分けた後のベクトルがどれくらいの大きさなのかわからないのです。
ここで登場するのが、三角関数です。
まずは三角関数の性質を簡単に説明します。

3辺の長さがa, b, cで、図の位置の角度をθ(シータ)とします。
数学において、θは角度を表すことが多いです。
このような直角三角形において、
sinθ = b / c
cosθ = a / c
が成り立ちます。これを少し変形してみます。
a = c × cosθ
b = c × sinθ
つまり、一番長い辺と角度が分かれば、他の辺の長さもわかる、ということです。
サインとコサインの正体は「長い辺とそれ以外の辺の長さの比率を表したもの」ということになります。

これをふまえたうえで先ほどの図をご覧ください。

似たような形をしていますね。ということで三角関数の性質から、
前向きのベクトルは cosθ 倍
上向きのベクトルは sinθ 倍
の大きさを持つことが分かります。

これで扱いやすい形になりました。
よく高校数学の教科書で(x, y)のような形でベクトルが表現されていることがあると思います。
これは、x軸の方向(右向き)とy軸の方向(上向き)に分けて考えているから、なんですね。

最後に、ゲームプログラミング等で三角関数を使おうとしている人に1つ注意があります。
今回は、角度θを右の線を基準として反時計回りで計算しました。
ですが、言語によっては時計回りでとっている場合や、基準の位置が違う場合があります。
使用する際は基準の位置と回る向きをきちんと確認してから使ってください。

今回はここまでです。
長くなるので、タンジェントに関してはまた次回書こうと思います。

興味を持たれた方はお気軽にお問い合わせください。

ゲームプログラミングから見る数学 #1 ~ベクトル~

こんにちは。インターン生の小野です。

突然ですがみなさん、「数学」と聞いてどんな感情を持つでしょうか。
目を背けたくなったり、トラウマを感じている人も多いと思います。
苦手意識の一番の要因は、やはり「どこで使うかわからない」という点でしょう。
ですが、身近な場面においても数学的な知識は使われています。
その最たる例が、ゲームです。
プレイヤーキャラクターの動きにも、高校数学の理論を用いてプログラムされています。
そこで今回の記事では、ゲームプログラミングを通して、数学の魅力を伝えると同時に、ゲームプログラマーを目指す人が最低限知ってほしい数学知識をお伝えします。

前置きが長くなってしまいましたが、本題に入ります。
今回は第1回ということで、『ベクトル』というものについて書いていきます。

さて、『ベクトル』とは何でしょうか。
日常会話でも「話のベクトルが違う」と言うこともありますよね。
英語でベクトル(vector)とは、「方向量、方向、進路」といった意味があります。
  参考URL : https://ejje.weblio.jp/content/vector
数学的に言うならば、ベクトルとは「向きと大きさを持ったもの」となります。

※完全に余談ですが、1とか2などの大きさしか無いものは『スカラー』と呼んだりします。

ゲームにおける一番わかりやすい例は、「大乱闘スマッシュブラザーズ」シリーズでしょう。
知らない人はいないとは思いますが、相手を吹っ飛ばして倒すアクションゲームですね。
この、吹っ飛ばすという動作は、どの方向に吹っ飛ぶか(向き)と、
どのくらい吹っ飛ぶか(大きさ)の2つがあることから、ここにベクトルが使われています。
シューティングゲーム等で、プレイヤーキャラクターを追跡するような弾も、
敵キャラクターの位置からプレイヤーキャラクターの位置へのベクトルを用いて表現されています。

さて、1+2=3という式が成り立つのは皆さんご存じでしょう。
では、ベクトル同士の足し算とはどのようにするのでしょうか。
これも単純です。下の図をご覧ください。

かなり簡略化したベクトルAとベクトルBの足し算の図です。
赤い矢印が足し算した結果となります。
図で見るとわかるように、直感でわかるような結果になっています。
逆に考えると、1つのベクトルを2つのベクトルに分けることが出来る、ということでもあります。
なぜわざわざ2つに分けるの?と思うかもしれませんが、それは次回以降説明したいと思います。

ベクトルについては以上となります。
他にもベクトルの便利な性質はありますが、今回は最低限ということでここまでです。
次回は三角関数について書こうと思います。

興味を持たれた方はお気軽にお問い合わせください。

10回で覚える数学講座「微分・積分を得意にする方法」

皆様、こんにちは、好きな教科は数学、インターン生の石井です。
何が好きかと言われたら問題が解けた時ですね。特に難しい問題が解けたときが一番楽しいです。皆様もぜひそんな瞬間を体験して欲しいです。

というわけで、今回も10回で覚える数学講座始めていきます。最終回の今日は「微分・積分を得意にする方法」と「ちょっとしたオマケ」です。

【1】微分
微分のポイントは、「傾き」です。「傾き」という言葉が初めて出てきたのは中学の一次関数ですよね。つまり直線なんですが、今回の微分はつまり、その直線の傾きのことなんです。というわけで、例題に行ってみましょう。

例題「関数f(x)=x^3-3xのグラフ上の点(2,2)における接線の方程式を求めよ」

例題は接線の方程式です。微分でなんで接線がわかるのかといえば、微分はさっきも言ったように関数のある一点の傾きを求めることができるのです。傾きと一点がわかっていればあとは中学生でも解ける問題です。というわけで、まずはf(x)を微分してみましょう。

f(x)=x^3-3x
f'(x)=3x^2-3

ですね。そしたら今回の問題では、x=2の時の傾きを求めればいいので、xに2を代入します。

f'(x)=3x^2-3
f'(2)=3×2^2-3=9

となり、傾きはxが2の時、傾きは9であることがわかります。
では、傾きが9で点(2,2)を通る直線の式を求めましょう。これなら中学校でもやった一次関数を求める問題ですよね。

y=ax+b
y=9x+b
2=9×2+b
b=-16

ということで、今回の答えはy=9x-16でした。できましたか?

【2】積分
次に積分なんですが、積分のポイントは「面積」ですね。積分で面積を求める問題があったと思いますが、それが積分の意味なんです。
なんか難しい計算してるけど、結局この答えってなんなのっていうと面積を基本的には求めているわけなんです。だから意味わからない数字ではないんですよ、とだけ。

例題として、面積の問題を出そうかと思ったんですが、結局、定積分を解くだけなので、積分の例題はなしにします。いっぱい問題を解いて積分に慣れてください!

【3】ちょっとしたオマケ
最終回なのでこのようなものを入れました。
今回、インターンで数学に関する記事を書かせていただきましたが、やはり、10回ではすべて語りつくせませんでしたし、最後まで読んだ人が数学を得意になるのか、というと自信がないです。しかし、これだけは言っておきます。

「数学は簡単である」

ということです。数学は難しいよ、何言ってんのという人もいるかもしれません。私自身、何度もつまづいて、あきらめたこともあります。けれども、そんな時は一回、頭を切り替えて「数学なんて簡単だ」と言い聞かせてみて下さい。すると、視野が広がり、今まで見えなかったものが見えてくるかもしれません。
また、第1回でも言いましたが、どうしてもわからないときは答えを見てください。そこにもきっとヒントがあります。

最後に、もっと気楽に数学を楽しんでみてください。楽しんで、普段の生活でも数字が見えるようになったら、その時、あなたは数学をマスターしたと言えるでしょう。

それでは、名残惜しいですが、以上で10回で覚える数学講座を終わりたいと思います。ここまで読んでいただき、ありがとうございました。

興味を持たれた方はこちらまでお気軽にお問い合わせください。※数学についての質問は受け付けていません。

10回で覚える数学講座「対数関数を得意にする方法」

皆様、こんにちは、好きな関数は二次関数、インターン生の石井です。
二次関数に限った話ではないのですが、関数の問題は解けるとすっきりするので結構好きです。解けないときはモヤモヤするんですけどね。

では、今回も10回で覚える数学講座始めていきましょう。第9回は「対数関数を得意にする方法」です。指数のおさらいは大丈夫でしょうか。
まずは、その指数関数と対数関数の関係についてですが、数Ⅲで習う逆関数というものになっています。詳しい定義は話しませんが、要は関係しあっている関数であるとわかっていただければいいです。つまりこの二つの関数はいたるところで似ているのです。
例えば、指数法則にあったa^m×a^n=a^(m+n)というのは対数の性質ではlog a (MN)=log a (M)+log a (N)となります。しっかり証明すればこの二つの関数がかかわっていることがわかるのですが、ここでは割愛します。

というわけで、対数の性質を復習しておきましょう。先ほども使いましたが、log a (b)は「a」が底で、「b」が真数です。読み方は「ログaのb」です。念のため。

①log a (MN)=log a (M)+log a (N)
②log a (M/N)=log a (M)-log a (N)
③log a (M^k)=k×log a (M)
④log a (b)=log c (b)/log c (a)……底の変換公式

この4つが基本ですね。たまに①と②を間違って覚えて、log a (M)×log a (N)=log a (M)+log a (N)とかlog a (M+N)=log a (M)×log a (N)とかにしている人を見ます。間違えないようにしっかり覚えておきましょう。
あと+αでこの式も覚えておくと便利です。

⑤log a (b)×log b (c)=log a (c)

これは底の変換公式を使うことで簡単に証明できるので、やってみて覚えてください。

では例題に移っていきましょう。まずは計算問題です。

例題「次の計算をせよ
①2log 2 (10)+log 2 (6)-log 2 (75)
②log 4 (8)
③log 2 (25)×log 5 (27)×log 3 (2)

①これは単純に性質の①~③を使うと簡単にできます。logの前にある数字を③の性質を使って書き換え、①、②の性質を使って計算しましょう。

2log 2 (10)+log 2 (6)-log 2 (75)=log 2 (10^2)+log 2 (6)-log 2 (75)=log 2 (100×6÷75)=log 2 (8)=3

というわけで答えは3です。

②これは、底の変換を使う問題です。早速やってみましょう。底は両方とも2の乗数なので2にします。

log 4 (8)=log 2 (8)/log 2 (4)=3/2

となります。
こんなのは余裕だという人は変換公式を使わず、暗算でやってみましょう。この式では「8は4の何乗でしょう」と聞かれています。さらに言い換えると「2^3は2^2の何乗でしょう」と聞かれています。指数に注目してみれば3/2になるのはわかりますよね?

③この問題は⑤の式を使うと簡単です。まずは式を整理してn乗をlogの前に出しましょう。

log 2 (25)×log 5 (27)×log 3 (2)=log 2 (5^2)×log 5 (3^3)×log 3 (2)=2log 2 (5)×3log 5 (3)×log 3 (2)=6×log 2 (5)×log 5 (3)×log 3 (2)

整数部分をとりあえず計算しておきました。あとは後ろの対数を⑤の式を使って書き換えるだけ。

6×log 2 (5)×log 5 (3)×log 3 (2)=6×log 2 (3)×log 3 (2)=6×log 2 (2)=6

となるので、答えは6です。勿論、底の変換公式を使って解くこともできます。

次は、よく出てくるけど忘れやすい問題です。

例題「9^log 3 (5)の値を求めよ」

この問題はではログが指数にあるので一瞬わからなくなるのですが、焦らずに考えていきましょう。まずはこの求めたい値をxと置きましょう。

9^log 3 (5)=x

次に、左辺に9があるので、底が3の対数をとり、性質③を使って書き換えます。

log 3 (9^log 3 (5))=x
log 3 (5)×log 3 (9)=log 3 (x)
log 3 (5)×2=log 3 (x)
log 3 (25)=log 3 (x)

すると一気に答えまで行きます。左辺と右辺を比べてみれば、x=25になりますよね。

このような感じで対数も性質を覚えていれば結構簡単に解けちゃいます。まずは苦手意識をなくすところから頑張りましょう。

さて、今回もこれで終わりです。残すところあと最終回の「微分・積分を得意にする方法」だけです。
次回もよろしくお願いします。

興味を持たれた方はこちらまでお気軽にお問い合わせください。※数学についての質問は受け付けていません。